椭圆曲线密码学（ECC）基本介绍和总结

背景

ECC英文全称"Elliptic Curve Cryptography"，其背后的密码学原理或者说安全性，是基于椭圆曲线离散对数问题（Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem，ECDLP）。ECC密码学被普遍认为是RSA密码系统的接替算法，相比于RSA，ECC在使用更短的密钥长度即可达到同等的安全性，比如ECC164位的密钥，相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度，且由于密钥更短，运算速度和带宽占用上也更有优势。 关于ECC的数学原理介绍和使用方法，网上有许多教程，下面主要是个人对认为比较难理解的知识点的思考和汇总。

椭圆曲线的确定

描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参数： T=(p,a,b,G,n,h)。 p 、a 、b 用来确定一条椭圆曲线， G为基点， n为点G的阶， h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分。 这几个参数取值的选择，直接影响了加密的安全性。参数值一般要求满足以下几个条件：

p 当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求；

p≠n×h；

pt≠1 (mod n)，1≤t<20；

4a3 + 27b2 ≠ 0 (mod p)；

n 为素数；

h≤4

椭圆曲线的选择

使用ECC时，应该从密码学家证明过具备安全性的曲线中选择曲线使用，如secp256k1, P-521 ，Curve25519等，不应该使用私有的曲线。即不要自行选择或者定义T=(p,a,b,G,n,h)中这些确定椭圆曲线的参数。

密钥长度的选项和选择

由于我们对RSA比较熟悉，因此我们可以把两种算法中不同密钥长度的安全性进行类比，这样就可以基于RSA的经验，来选择合适的密钥长度，下表是两种算法，在提供同等级安全时，各自需要的密钥长度。就RSA而言，目前主流密钥长度至少都是1024bits以上，低于或者等于1024bit的密钥已经不建议使用，对于一些政府部门，金融机构，应选择使用大于2048bits的密钥长度。

椭圆曲线明文，密文，密钥和椭圆曲线的关系

很多文章对椭圆曲线的数学原理的解释十分详细，但是看完还是没办法理解是如何将这个曲线和加解密联系在一起。其实明文，密文以及公